因果律与传递函数

一、引入问题

DR_CAN：现实生活中，由于因果定律的存在，所有的传递函数都是真分数（式）。

一个更常见的陈述是：“现实生活中传递函数的分母阶数 必不小于分子阶数 ”。

本文尝试说明其原因。

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二、展开说明

（一）一阶微分环节

我们讨论一个最简单的假分式传递函数： 这是一个一阶微分环节，我们对它进行 逆变换。

我们（自动控制中）好像从来没有对 进行过反变换，即使它看起来很简单。实际上 并不容易求得，但我们可以换个思路：

函数	时域	拉普拉斯 域
单位冲激函数
单位阶跃函数
斜坡函数

这是一个拉普拉斯变换表，容易发现：“向上是求导，向下是积分”。

按照这种规律来看 应该在 的头顶，那么在时域中就需要对单位冲激函数 求导：

被称为冲激偶。

我们先把拉普拉斯变换表补全：

函数	时域	拉普拉斯 域
单位冲激偶
单位冲激函数
单位阶跃函数
斜坡函数

由 求导得来：

它的取值情况：

（二）响应

对于 ：

1. 单位冲激响应

当输入为 时，我们心里默念：系统的单位冲激响应是它的传递函数的拉普拉斯逆变换，所以此时输出就是冲激偶。

上文中讲到冲激偶 的取值是和 之后有关的，或者说：

时的输入会影响到 时的输出。

这是违背因果律的。

2. 单位阶跃响应

我们考虑当输入 也就是 时： 此时输出为单位冲激响应，单位冲激响应也是与 之后有关的，同样违背因果律。

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三、数学中

观察拉普拉斯变换表， 相当于微分算子，考虑一个求导过程： 时刻的导数和 有关，从这里也可以看出不符合因果定律。

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四、电路中

考虑一个电感器件： 在电路的 域模型中： 在形式上它确实是一个微分环节，但现实中由于电感绕线电阻的存在使得它实际上是个惯性环节。

换个方向，我们可以如此定义电感： 以电压差输入，以电流为输出，这样传递函数就是一个积分环节。

同样的，考虑一个电容器： 域中： 我们可以这么写： 时域中： 这是容易理解的，电流 的流动使得电荷 在电容器以某种状态分布，从而产生了电势差。