因果律与传递函数

四月 20, 2024, 3:15 下午

一、引入问题

DR_CAN：现实生活中，由于因果定律的存在，所有的传递函数都是真分数（式）。

一个更常见的陈述是：“现实生活中传递函数的分母阶数必不小于分子阶数 ”。

本文尝试说明其原因。

我们讨论一个最简单的假分式传递函数：

这是一个一阶微分环节，我们对它进行逆变换。

我们（自动控制中）好像从来没有对进行过反变换，即使它看起来很简单。实际上并不容易求得，但我们可以换个思路：

这是一个拉普拉斯变换表，容易发现：“向上是求导，向下是积分”。

按照这种规律来看应该在的头顶，那么在时域中就需要对单位冲激函数求导：

被称为冲激偶。

我们先把拉普拉斯变换表补全：

由求导得来：

它的取值情况：

对于：

当输入为时，我们心里默念：系统的单位冲激响应是它的传递函数的拉普拉斯逆变换，所以此时输出就是冲激偶。

上文中讲到冲激偶的取值是和之后有关的，或者说：

时的输入会影响到时的输出。

这是违背因果律的。

我们考虑当输入也就是时：

此时输出为单位冲激响应，单位冲激响应也是与之后有关的，同样违背因果律。

观察拉普拉斯变换表，相当于微分算子，考虑一个求导过程：

时刻的导数和有关，从这里也可以看出不符合因果定律。

考虑一个电感器件：

在电路的域模型中：

在形式上它确实是一个微分环节，但现实中由于电感绕线电阻的存在使得它实际上是个惯性环节。

换个方向，我们可以如此定义电感：

以电压差输入，以电流为输出，这样传递函数就是一个积分环节。

同样的，考虑一个电容器：

域中：

我们可以这么写：

时域中：

这是容易理解的，电流的流动使得电荷在电容器以某种状态分布，从而产生了电势差。