一、引入问题
DR_CAN：现实生活中，由于因果定律的存在，所有的传递函数都是真分数（式）。
一个更常见的陈述是：“现实生活中传递函数的分母阶数 $n$ 必不小于分子阶数 $m$”。
本文尝试说明其原因。
二、展开说明
（一）一阶微分环节
我们讨论一个最简单的假分式传递函数： $$H(s)=s$$ 这是一个一阶微分环节，我们对它进行 $Laplace$ 逆变换。
我们（自动控制中）好像从来没有对 $s$ 进行过反变换，即使它看起来很简单。实际上 $L^{-1}(s)$ 并不容易求得，但我们可以换个思路：
| 函数 | 时域 | 拉普拉斯 $s$ 域 |
|---|---|---|
| 单位冲激函数 | $\delta(t)$ | $1$ |
| 单位阶跃函数 | $1(t)$ | $\frac{1}{s}$ |
| 斜坡函数 | $t$ | $\frac{1}{s^{2}}$ |
这是一个拉普拉斯变换表，容易发现：“向上是求导，向下是积分”。
按照这种规律来看 $s$ 应该在 $1$ 的头顶，那么在时域中就需要对单位冲激函数 $\delta(t)$ 求导： $$h(t) = L^{-1}(s) = \delta’(t) = \frac{\mathrm{d} \delta(t)}{\mathrm{d} t} $$
$\delta’(t)$ 被称为冲激偶。
我们先把拉普拉斯变换表补全：
| 函数 | 时域 | 拉普拉斯 $s$ 域 |
|---|---|---|
| 单位冲激偶 | $\delta’(t)$ | $s$ |
| 单位冲激函数 | $\delta(t)$ | $1$ |
| 单位阶跃函数 | $1(t)$ | $\frac{1}{s}$ |
| 斜坡函数 | $t$ | $\frac{1}{s^{2}}$ |
$\delta’(t)$ 由 $\delta(t)$ 求导得来：
它的取值情况： $$ \delta^{\prime}(t)= \begin{cases} 0, & t \neq 0 \cr +\infty, & t = 0^{-} \cr -\infty, & t = 0^{+} \end{cases} $$
（二）响应
对于 $H(s) = s$：
- 单位冲激响应
当输入为 $r(t) = \delta(t)$ 时，我们心里默念：系统的单位冲激响应是它的传递函数的拉普拉斯逆变换，所以此时输出就是冲激偶。
上文中讲到冲激偶 $\delta’(t)$ 的取值是和 $0$ 之后有关的，或者说：
$t > 0$ 时的输入会影响到 $t = 0$ 时的输出。
这是违背因果律的。
- 单位阶跃响应
我们考虑当输入 $r(t) = 1(t)$ 也就是 $R(s)=\frac{1}{s}$ 时： $$C(s) = H(s)*R(s) = s \cdot \frac{1}{s} = 1$$ $$c(t) = L^{-1}[C(s)] = L^{-1}(1) = \delta(t)$$ 此时输出为单位冲激响应，单位冲激响应也是与 $t>0$ 之后有关的，同样违背因果律。
三、数学中
观察拉普拉斯变换表，$s$ 相当于微分算子，考虑一个求导过程： $$y’(t) = \lim_{h \to 0} \frac{y(t+h)-y(t)}{h} $$ $t$ 时刻的导数和 $t+h$ 有关，从这里也可以看出不符合因果定律。
四、电路中
考虑一个电感器件： $$u(t)= L\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} $$ 在电路的 $s$ 域模型中： $$U(s)= sL \cdot I(s)$$ 在形式上它确实是一个微分环节，但现实中由于电感绕线电阻的存在使得它实际上是个惯性环节。
换个方向，我们可以如此定义电感： $$I(s) = \frac{1}{sL} \cdot U(s)$$ 以电压差输入，以电流为输出，这样传递函数就是一个积分环节。
同样的，考虑一个电容器： $$i(t) = \frac{\mathrm{d} q(t)}{\mathrm{d} t} = C \frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}$$ $s$ 域中： $$I(s) = sC \cdot U(s)$$ 我们可以这么写： $$U(s) = \frac{1}{sC} \cdot I(s)$$ 时域中： $$u(t) = u(0) + \frac{1}{C}\int_{0}^{t}i(\tau)d\tau $$ 这是容易理解的，电流 $i$ 的流动使得电荷 $q$ 在电容器以某种状态分布，从而产生了电势差。